Короткий ответ: как всё-таки пишется?

Верный вариант: придётся (и «придется» без мягкого знака после согласных).

Неверный: прийдётся / прийдется с «й».

Почему именно так? Морфемный разбор

Слово образовано от глагола прийти (инфинитив).
Разложим по частям:

• при- — приставка;
• д — корень (от древнего *id-, «идти»);
• -ёт-, флексия будущего времени;
• -ся — возвратная частица.

Когда глагол прийти спрягается и получает личное окончание, й исчезает.
Это стандартное чередование: инфинитив «й» держит, а во всех личных формах он выпадает.

Мнемоника: как запомнить навсегда

1. Есть й, значит, это ещё не тот, кто делает.
   «Прийти» — просто «прийти» (инфинитив = неопределённая форма).
   Как только появился человек, который «придёт», «й» ушёл.
2. Запомните строчку:
   «Пришёл, пришла, придётся — без й осталась!»

Таблица спряжения «придётся»

Синонимы и стилистические замены

Если «придётся» надоест, можно использовать:

• придётся → придёт в обязанность, доведётся, случится, придёт необходимость, не миновать.

Наиболее частые контексты употребления

• Вынужденность:
  «Из-за дождя придётся остаться дома.»
• Неизбежность:
  «Завтра придётся вставать в пять утра;»
• Разговорное пожелание:
  «Надеюсь, тебе не придётся долго ждать.»

Частые ошибки и «подводные камни»

Extras: «придётся» ↔ «ввиду», «в виду»

Эти конструкции звучат схоже, но имеют разные правила.

• ввиду (слитно) — предлог со значением «из-за, принимая во внимание»:
  Ввиду сложившихся обстоятельств придётся перенести встречу.
• в виду (раздельно), сочетание предлога «в» + существительное «виду»:
  Он был в поле зрения, в виду всех присутствующих.

Исключение, подтверждающее правило

Иногда говорят «каждое правило имеет исключение». На практике в русском языке «придётся» не имеет варианта с «й» — значит, это не исключение, а подтверждение стабильности правила.

Теперь вам точно не придётся сомневаться в правильном написании!